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Evaluación de las cuentas de acervos de capital del Banco de México
Andrés Moctezuma
Profesor-investigador del Departamento de Economía, Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa.


Introducción

Tal como ha sido destacado por distintas corrientes del pensamiento económico, el empleo de los acervos resulta clave para el análisis económico, toda vez que las modificaciones en las variables de flujo suponen alteraciones en los acervos. Sin embargo, los cálculos macroeconómicos de los acervos, y en particular de los de capital, son poco frecuentes.

En relación con ello, recientemente se ha tenido acceso a las nuevas cuentas de acervos de capital elaboradas por el Banco de México, no obstante que la confiabilidad de dicha información estadística ha sido puesta en tela de juicio. El problema que se ha detectado concierne por lo menos a los agregados generales, en los que, al calcularse los índices de precios de la formación bruta de capital fijo y de los acervos brutos de capital fijo (usando los datos de los precios corrientes y constates, tomando como año base 1970), se observa una divergencia creciente y de grandes dimensiones entre ambos índices, como se puede observar en el cuadro 1. De entrada, tal comportamiento resulta sospechoso; sin embargo no basta la sospecha, por lo que hemos creído conveniente, dada su importancia, realizar una evaluación formal acerca de la confiabilidad de dichas cuentas.

Los acervos brutos de capital se forman a partir de agregar la formación bruta de capital; estos bienes de capital que año tras año se invierten forman parte del acervo bruto mientras su vida útil tenga vigencia y, por lo tanto, mientras se encuentren en funcionamiento, por lo que resulta obvia la relación entre una y otra cuenta. Sin embargo, los efectos de la formación bruta en los acervos se distribuyen con el tiempo, de tal manera que es totalmente explicable el que sus respectivas tasas de crecimiento no correspondan entre sí o inclusive mantengan tendencias opuestas por ciertos periodos. Esta situación hace pensar, intuitivamente, que la discrepancia antes señalada, entre sus índices de precios correspondientes, se deba directamente a los efectos de rezago en el tiempo. Así, nuestro objetivo es demostrar que los efectos de rezago en el tiempo no tienen por qué incidir en la divergencia entre los índices de precios.

I. Primera demostración

En esta demostración utilizaremos el índice de Laspayres y demostraremos que los índices pueden ser idénticos, pese a la incidencia rezagada de la formación bruta en los acervos. Para ello supondremos que sólo existe un tipo de mercancías:

Índice de precios de la formación bruta (IPfbc),

IPfbc = ((P1 j + 1 / P1 j) (M1 j)) 100
M1 j = (P1 j * Q1 j) / S((Pij * Qij)).

Índice de precios de los acervos brutos (IPv),

IPv = ((P1 j + 1 / P1 j) (W1 j)) 100
W1 j = (P1 j * Q1 j * U1 j) / ((Pij * Qij)).

en donde:
pij es el precio unitario corriente de la mercancía i en el año base;
pij + 1, es el precio unitario corriente de la mercancía i en el año en estudio (j + 1);
Mij es el peso relativo de los bienes de capital i que se incorporaron a la producción en el año base;
Wij es el peso relativo de los bienes de capital que se encuentran en funcionamiento en el año base.

Dado que únicamente existe un tipo de mercancía, entonces:

Mij = 1

y

Wij = 1.

Por lo tanto,

IPfbc = (p1 j + 1 / p1 j) 100,
IPv = (p1 j + 1 / p1 j) 100,
IPfbc = IPv.

Con el índice de Paasche tendríamos el mismo resultado:
Mij + 1 es el peso relativo de los bienes de capital i que se incorporaron a la producción en el año en estudio.
Wij + 1 es el peso relativo de los bienes de capital que se encuentran en funcionamiento en el año en estudio:

IPfbc = ((P1 j + 1 / P1 j) (M1 j + 1 )) 100
IPv = ((P1 j + 1 / P1 j) (W1 j + 1 )) 100
Mj + 1 = 1 y
Wj + 1 = 1.

Por lo tanto,

IPfbc = IPv.

II. Segunda demostración

Ahora bien, estudiemos las condiciones según las cuales el índice de precios de la formación bruta de capital se puede desviar en relación con el índice de los acervos brutos. Para realizar dicho análisis, es necesario suponer por lo menos la existencia de dos mercancías (o canastas de bienes) con precios que presenten distintas tasas de crecimiento. En esta ocasión tan sólo emplearemos el índice de Laspayres, por ser de uso común, y supondremos lo siguiente:

a) La existencia de sólo dos canastas de bienes de capital, que pueden representar a su vez un promedio ponderado de múltiples canastas individuales. Los bienes de las dos canastas poseerán siempre las mismas características cuantitativas y cualitativas.

b) Dado que lo que nos interesa es analizar la divergencia considerable que se presenta entre los citados índices, bastará con suponer dos periodos: el año base y el año en estudio, mediando entre ambos década y media.

c) Finalmente, suponemos que no existen casos triviales.

Hemos introducido estos supuestos con la finalidad de que nuestro modelo cumpla con las condiciones de un índice sencillo.

El índice de formación bruta de capital está dado por:

IPfbc = ((P1 j + 1 / P1 j) (M1 j) + (P2 j + 1 / P2 j) (M2 j)) 100
M1 j = (P1 j * Q1 j) / ((P1 j * Q1 j) + (P2 j * Q2 j))
M2 j = (P2 j * Q2 j) / ((P1 j * Q1 j) + (P2 j * Q2 j)).....................(1)

Mientras que el índice de los acervos brutos es:

IPv = ((P1 j + 1 / P1 j) (W1 j) + (P2 j + 1 / P2 j) (W2 j)) 100
W1 j = (P1 j * Q1 j * U1 j) / ((P1 j * Q1 j * U1 j)+ (P2 j * Q2 j * U2 j))
W2 j = (P2 j * Q2 j * U2 j) / ((P1 j * Q1 j * U1 j)+ (P2 j * Q2 j * U2 j))...........................(2)

Donde: Uij representa la vida útil del bien i en el año base. Si en el periodo comprendido IPv se rezaga con respecto a IPfbc, entonces:

IPfbc > IPv.

Sea j = 0:

((P11 / P1 ) (M1 ) + (P21 / P2) (M2)) 100 > ((P11 / P1 ) (W1 ) + (P21 / P2) (W2)) 100,

Sea: X = P11 / P1
y Y = P21 / P2.

Por lo tanto,

X(M1 ) + Y(M2) > X(W1 ) + Y(W2),

Sea: X / Y = x.

Por lo tanto:

xM1 + M2 > xW1 + W2,

y dado que M1 + M2 = 1:

xM1 + 1 - M1 > xW1 + 1 - W1 ................(3)

M1 (x - 1 ) > W1 (x - 1 )........................ (4)

Cuando x > 1, tendremos que:

M1 > W1 .

Y cuando x < 1:

M1 (x - 1 ) > W1 (x - 1 ),
M1 < W1 .

Esto es, si IPfbc > IPv, y la tasa de crecimiento (bruta) del precio de la primera canasta es mayor que la correspondiente a la segunda canasta, el peso ponderado de la primera canasta en la formación bruta de capital será mayor que el peso de esa canasta en los acervos brutos. O, por lo contrario, si IPfbc > IPv y la tasa de crecimiento del precio de la primera canasta es menor que la de la segunda, el peso ponderado de la primera canasta en la formación bruta de capital será menor que el peso de esa canasta en los acervos brutos.

Ahora bien, podemos expresar W en función de M:

M1 = (P1 * Q1 ) / ((P1 * Q1 ) + (P2 * Q2)).
W1 = (P1 * Q1 * U1 ) / ((P1 * Q1 * U1 ) + (P2 * Q2 * U2)).

Multiplicamos ambos términos del cociente por (Pi * Qi) y obtenemos:

W1 = ((P1 * Q1 * U1 ) / (Pi * Qi)) / (((P1 * Q1 * U1 ) + (P2 * Q2 * U2)) / (Pi * Qi));

W1 = (((P1 * Q1 ) / S(Pi * Qi)) * U1 ) / (((P1 * Q1 * U1 ) + (P2 * Q2 * U2)) / (Pi * Qi));

W1 = (M1 * U1 ) / (((P1 * Q1 * U1 ) + (P2 * Q2 * U2)) / (Pi * Qi)),

W1 = (M1 * U1 ) / (((P1 * Q1 * U1 ) / (Pi * Qi)) + ((P2 * Q2 * U2) / (Pi * Qi))),

W1 = M1 *U1 / ((M1 * U1 ) + (M2 * U2))........................ (5)

Dividimos ambos términos del cociente entre U1:

W1 = M1 / (M1 + M2 * U2 / U1 ).

Dado que W1 = 1 - W2;

W1 = M1 / (M1 + (1 - M1 ) * (U2 / U1 )).

Sea U2 / U1 = u, por lo tanto, W1 = M1 / (M1 + u - M1 * u), y finalmente dividimos ambos términos del cociente entre M1:

W1 = 1 / (u ((1 / M1 ) - 1 ) + 1 )..........................(6)

o

W1 = 1 / (1 + u / M1 - u).

Por lo que la diferencia entre M1 y W1 esta determinada por la vida útil de las canastas. En consecuencia, dada dicha vida útil y el valor de Mi, podemos conocer el valor de Wi.

Además, podemos saber cuál es el intervalo que acota a u:

Partiendo de (IPfbc / IPv) > 1, por (3):

(M1 (x - 1 ) + 1 / ((W1 (x - 1 ) + 1 ) ) > 1.

Sustituimos (6) en esta última ecuación:

(M1 (x - 1 ) + 1 / (1 / ((((u / m1 ) - u + 1 ) * (x - 1 )) + 1 )) > 1.
M1 (x - 1 ) + 1 > (((x - 1 ) / ((u / M1 ) - u + 1 )) + 1 ),
M1 (x - 1 ) > ((x - 1 ) / (u / M1 - u + 1 )),
M1 (x - 1 ) > M1 (x - 1 ) / M1 (u / M1 - u + 1 ),

si x < 1.

Y dado que M1 y u son positivos y mayores que cero (pues si no lo fueran tendríamos un caso trivial), se deduce que:

0 < M1 (u / M1 - u + 1 ) < 1 .
0 < u - uM1 + M1 < 1,
0 < u(1 - M1 ) + < 1,
-M1 < u(1 - M1 ) < 1 - M1 ,
-M1 / (1 - M1 ) < u < (1 - M1 ) / (1 - M1 ),
-M1 / (1 - M1 ) < 0 < u < 1,
0 < u < 1.

Por lo contrario, si x > 1, entonces: u > 1. A partir de lo anterior, se observa que la discrepancia en el índice de acervos será mayor mientras más alejados (y en la misma dirección) se encuentren x y u de la unidad.

Al respecto recordemos que x es igual a la diferencia (cociente) entre el incremento de precios (bruto) de la primera canasta con respecto a la segunda, mientras que u es la relación entre la vida útil de la segunda canasta con respecto a la primera.

Ahora bien, si definimos a @ como:

@ = IPfbc / IPv,

de las ecuaciones (3) y (6) obtenemos la siguiente función:

@ = (M1 x + xu(1 - M1 ) + 1 - M1 - 2u + uM1 + u / M1 ) / (x + u / M1 - u)...................... (7)

A partir de esta función, al asignar un valor para @, podemos obtener la superficie de nivel, en donde se satisface la ecuación; es decir, dado un valor fijo de @ se pueden conocer todos los posibles valores de x, u y M1, de acuerdo con las restricciones propias de nuestra ecuación: 0 < M1 > 1, si x > 1, entonces u > 1; y, si x < 1, entonces u < 1. Por lo demás sólo nos interesan valores positivos y los casos no triviales, por lo que x y u son mayores que cero y distintos que la unidad. Finalmente, dado que los resultados que se obtienen para x y u (suponiendo x y u > 1) son inversamente proporcionales a los que resultan trabajando con x y u < 1, es necesario trabajar tan sólo con una de las opciones, en este caso optaremos por la primera.

El valor que asignaremos a @ es el que se desprende de la información del Banco de México, el cual asciende a 8.90 (tomando como año de estudio 1986 y como año base 1970, véase cuadro 1). Recordemos que @ es la relación entre el índice de precios de la formación bruta y el índice de precios de los acervos brutos de capital. En consecuencia, a partir de ese valor nos interesa conocer los valores que tienen que asumir, en particular x y u.

La ecuación que obtenemos para un valor @ de 8.9, y fijando un valor para M1 distinto de cero, representa una hipérbola:

xM1 + (1 - M1 ) ux - 2u + uM1 - M1 + 1 + u / M1 - 8.9 (x + u / M1 - u)....................... (8)

En la ecuación (8), y tomando en cuenta las restricciones antes señaladas, la mínima distancia al origen de x y u se obtiene cuando M1 asume un valor de 0.5, teniendo como mínimos: el par ordenado (33.57, 33.57) redondeado.

En consecuencia, para que el cociente entre los índices IPfbc y IPv (@) asuma el valor que se observa en los datos del Banco de México, los valores mínimos que debe tener el par ordenado (x, u) supone que: el incremento (bruto) del precio de la primera canasta sea 33.57 veces mayor que la segunda, mientras que la vida útil de la segunda canasta debe ser, también, 33.57 tantos superior a la de la primera canasta. Todo ello suponiendo, además, un peso relativo de 0.5 para ambas canastas en la formación bruta de capital. En la medida que nos alejemos de dichas condiciones y, por ejemplo, demos valores a x o u más próximos a la unidad, la otra variable se aleja exponencialmente (véase gráfica 1).

En consecuencia resulta francamente inconcebible que en la realidad la inversión y el aparato productivo hayan presentado un comportamiento de naturaleza tal que generase cualquiera de las combinaciones que satisfacen al modelo. Un situación tan singular necesariamente se haría evidente en el sistema de cuentas nacionales, por ejemplo, en los índices desagregados de la formación bruta de capital.

Esta demostración no pierde validez si suponemos la existencia de múltiples canastas de bienes. Por lo contrario en ese caso, y dado que la incidencia de los precios de las canastas se encuentra más diseminada, el comportamiento de por lo menos una canasta debería ser mucho más errática de lo planteado para que se presente la enorme divergencia entre los índices. De igual manera, no es relevante la exclusión de algunos sectores de la economía en los datos del Banco de México.

Por otra parte, los supuestos que le dan congruencia al modelo en términos de los atributos sencillos de un índice, puede que no correspondan a la realidad, que es lo más probable, no obstante que la elaboración idónea de un índice de precios debe cumplir con dichas condiciones. Si debido al comportamiento de las variables no fuera factible en la realidad lo anterior, los cálculos estadísticos presentarán cierto margen de error. Sin embargo, la enorme discrepancia observada entre los multicitados índices de precios no puede ser atribuida a los errores y limitaciones propias de las fórmulas de los números índices.

Conclusión

Hemos de concluir señalando que, sin menoscabar los esfuerzos realizados, los resultados obtenidos por el Banco de México en las cuentas de acervos de capital presentan un sesgo tan grande que prácticamente anulan la posibilidad de su empleo en el análisis económico, por lo menos globalmente, lo cual no implica necesariamente a las cuentas de acervos en precios corrientes y en precios constantes; es posible que tan sólo una de ambas sea errónea, y pensamos incluso que es el caso expuesto, es decir, que la cuenta de acervos a precios corrientes es la que presenta graves problemas; no obstante, es necesario aclarar y corregir dichos cálculos.

Marzo, 1994.



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